어차피 교수님 뭐 티스토리 같은 거 찾아보지도 않으실 테니까 불평불만해도 되겠죠..? 아니 무슨 수업을 맨날 막 15~30분 일찍 끝내면서 fundamental 부분을 3주 동안 나갈 수가 있나요?! 우리는 이걸 날먹 미디움레어..라고 부르기로 했어요ㅜㅜ
아무튼 그래서 여태 복습을 미루다가 오늘 수업 듣고 위기를 느껴^^ 허둥지둥 복습하는 3주치 신시 수업내용!
교재는 Oppenheim 교수님의 Signals & Systems 2nd ed.을 참고했습니다.
Continuous vs. Discrete
앞으로 우리가 보게 될 그래프의 꼴은 다음 두 개입니다.
이산형(discrete)와 연속형(continuous)!
아 그리고 깜빡한 게 있네요.. 이쯤에서 앞으로 제일 많이 활용될 두 pseudo-function들을 소개해야겠습니다.
이 친구는 unit step function입니다. $n\ge0$ 또는 $t\ge0$일 때 값이 일정하게 1이라는 특징이 있어요.
이 친구는 delta function 또는 unit impulse라고 하는 놈입니다. 0에서만 값이 존재하고, 그 값은 1이라는 특징이 있어요.
그리고 이 친구들끼리는 좀 특별한 관계가 있는데, 좀 많으니까 잘 봐두셈ㅇㅇ
우선 Discrete function들끼리의 관계를 먼저 봅시다.
$$\begin{equation}\label{eq1}\delta[n] =u[n]-u[n-1]\tag{1.a}\end{equation}$$
$$\begin{equation}\label{eq2}u[n]= \sum_{m=-\infty}^n\delta[m]\end{equation}\tag{1.b}$$
납득이 되죠~.~ $\ref{eq2}$는 좀 헷갈릴 수 있는데 사실 생각해보면 -∞부터 $n$까지 더하는 거니까 $n\ge0$인 순간부터 $(-\infty, n]$ 사이에 0이 포함돼서 그렇슴다 히히
이쯤에서 충분히 유추할 수 있는 사실: 합($\sum$)으로 나타낸 게 이산형이었다면 연속형은 적분이겠군.
$$\begin{equation}\label{eq3}\delta(t) =\frac{du(t)}{dt}\tag{1.c}\end{equation}$$
$$\begin{equation}\label{eq4}u(t)= \int_{-\infty}^t\delta(\tau)d\tau\end{equation}\tag{1.d}$$
이건 좀 흥미로운 관계입니다. 왜냐하면, 일반적으로 생각했을 때 $t=0$에서 미분이 되는 꼴이 아니니까요! 그래서 pseudo-function이라는 표현을 쓰나봄ㅇㅇ 아무튼 이 관계를 설명하기 위해서, 소구간 $\Delta$를 활용해 근사를 하는 전략을 취해볼 것입니다. 뭐.. 별건 없고 그냥 기호 하나 추가된 식임ㅋㅋ
$$\begin{equation}\label{eq5}\delta_\Delta(t) =\frac{du_\Delta(t)}{dt}\tag{1.e}\end{equation}$$
Step $\Delta$를 소구간으로 설정하고, $u(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0}u_\Delta(t)$라고 하자는 거예요. 그럼 미분하는 게 아래 그림과 같이 되겠죠!
그래서 스파이크 튀는 delta function이 탄생하는 것임~.~
이 친구들은 보통 단독으로는 잘 안 쓰이고, 서로의 합/곱, 다른 함수와의 곱 형태로 많이 쓰이는 거 같아요!
..일단 지금 상황에선 이정도 짚고 넘어갑시다.
Power & Energy
이게 중요한 건지 잘 모르겠어서 일단 접은 글에 넣어놓기ㅋㅋ 그래요 세상에 중요하지 않은 게 어딨습니까 ¯\_(ツ)_/¯
어떤 신호 $x(t)$의 총 에너지(Energy)는 다음과 같이 정의한다고 합니다.
$$\begin{equation}\label{eq6}
\begin{split}E & = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt, \\
E & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2
\end{split}\tag{1.f}
\end{equation}$$
또, 전력(Power)은 아래와 같이 정의한다고 하네요.
\begin{equation}\label{eq7}
\begin{split}
P & = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt, \\ P & = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2
\end{split}\tag{1.g}
\end{equation}
이 두 개념을 이용해, 우리는 특정 신호가 에너지 신호인지 전력신호인지 분류할 수 있어요.
- 에너지 신호: $E<\infty$ 즉 유한할 때; 이때 당연히 $P=0$임 계산해보면 압니다~.~
- 전력 신호: $P<\infty$,즉 유한할 때; 이라면 $E=\infty$겠지요!
그렇다구 한다~
Exponential & Sinusoidal
음 내가 생각했을 때 여기서 제일 중요한 건 아무래도...
\begin{equation}\label{eq8}
e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t)\tag{2.a}
\end{equation}
네 이것만 알아도 많은 식들을 정리할 수 있더군요.. 누가 그러던데, 오일러 공식이 세상에서 가장 아름다운 공식이라고!! 저는 아직 수알못이라 그 이유를 실감하지 못했네요ㅜ
Signals & System
헉 이게 교재 및 교과목 타이틀인디..
지금까지 우리가 다룬 내용은 전부 신호에 대한 내용입니다. 그럼 시스템이 뭐냐! 어떤 연속형 입력 신호 $x$에 대해, 뭔가 복작복작 연산 등을 거쳐서 변형되어 또 다른 신호인 $y$를 출력 신호로 내뱉는 녀석을 시스템이라고 부르기로 했습니다. 요렇게 나타내요:
$$x(t)\rightarrow y(t)$$
그리고 많이 등장하는, 좀 심플한 형태의 시스템 예시는 요렇습니다:
\begin{equation}\label{eq9}
y[n] = y[n-1]+x[n]\tag{2.b}
\end{equation}
네 뭐.. 그렇습니다.
시스템의 여러 가지 특징들이 있는데요, 러프하게만 살펴보도록 하겠음
- memoryless, delay: 시스템의 출력 신호가 입력 신호와 동일한 타임스탬프를 가지고 있을 때(?)ㅋㅋ 표현이 좀 부실한데, 예시로 이런 걸 드네요!
$$y[n] = (2x[n]-x^2[n])^2$$
보면 다 $n$이자네~
$x[n-1]$ 같은 애들은 한 스텝 전이니까 delay라고 하고, 현재·과거의 신호에만 의존하여 출력신호를 구성하는 시스템을 causal이라고 한대요. - Invertibility: 음 우리가 일반적으로 역함수를 정의할 수 있는 함수를 말하는 거랑 비슷한 느낌? 교과서에서는 "if distinct inputs lead to distict outputs"라고 하는군요?! 일대일대응 말하는 듯
경우에 따라서는, $w[n] = y[n]-y[n-1], \quad y[n]=\sum_{k=-\infty}^n x[k]$처럼 구성돼있을 때 $w[n]$도 invertible합니다. 겉보기에는 그렇게 안 생겨먹었지만.. 역시 겉만 보고 판단하면 안 되는 것임ㅋㅋ - Stability: 나왔다! 이거 중요하대요!! 별표 박아두고~.~
BIBO라고도 하는데, bounded input bouded ouput의 준말입니다. 안정성을 갖춘 시스템이라면, 입력신호가 bounded되어 있다면 출력신호도 그렇다는 특징이에요. 실제로 어떤 시스템의 안정성을 증명할 때도 이렇게 하면 됨.
\begin{gather*} |x(t)| < B \rightarrow |y(t)|<B^\prime \\ |x[n]|<B \rightarrow |y[n]|<B^\prime \end{gather*}
예시로, 천장에 매달린 진자는 stable, 바닥에 매달린ㅋㅋ 진자는 unstable이에요. 왜? 바닥에 매달린 진자는 중력이 작용했을 때 진자가 냅다 땅에 처박히게 되니까 교과서 표현을 빌리자면 "increase the deviation"이거든.. - Time Invariance: 얘도 중요한 거 같은데.. 시스템의 특징이 시간이 지나도 고정적인 애들을 말합니다. 수식을 활용해 표현하자면, 입력 신호에 $t_0$만큼 shift했을 때 output signal에도 꼭 그만큼 shift가 발생하면 ($x[n-n_0]\rightarrow y[n-n_0]$)? 그걸 time invariant (시간-부동적) 이라고 하나봐요.
어휴 많다 많아 대충 여까지가 Chapter 1이구요!
김만수 교수님은.. 음 합성곱까지를 intro처럼 하신 것 같은데=_=
에이씨 그래 이 포스트에 다 정리하지뭐.
Convolution sum of LTI system
여기서부터는 LTI를 전제합니다. Chapter 2가 그럼ㅋㅎ 별건 아니고, linear time-invariant 시스템이라고 해서 선형성과 시간 부동성을 모두 갖춘 시스템이라고 생각하면 되겠네요. 이 LTI 시스템은, 이런 식으로 나타낼 수 있어요.
\begin{equation}\label{eq10}x[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty x[k]\delta[n-k]\tag{3.a}\end{equation}
\begin{equation}\label{eq11}y[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty x[k]h[n-k], \\ \quad \text{where }h[n-k] \text{ denotes the shifted unit impulse }(\delta[n-k]) \text{ response of the system.} \tag{3.b} \end{equation}
$\ref{eq10}$을 가지고 sifting property라고 하구요, Dirac delta function의 특징을 생각하면 직관적으로 이해가 되죠잉~.~
음 사실 아직 $h[n]$이 뭐하는 앤지는 좀 헷갈리는데 이 linear system에 입력 신호를 $\delta[n]$으로 주었을 때의 출력신호를 $h[n]$이라고 하는 거 같습니다. 교수님 수업 피피티에는 이렇게 나와있네요.
Loosely speaking, this corresponds to giving the system a kick at $n=0$, and then seeing what happens.
그리고 $\ref{eq11}$가 LTI 시스템의 convolution sum 또는 superposition sum이라고 불리는 식입니다! $\ref{eq10}$와 연관지어서 생각했을 때 역시 직관적으로 이해할 수 있군요~.~ 이거는 합성곱 기호인 $*$를 이용해 다음과 같이 나타낼 수도 있는데요,
\begin{equation}\label{eq12}y[n]=x[n]*h[n]\tag{3.c}\end{equation}
깔꼼스
$\ref{eq11}$로 다시 돌아가봅시다. $h[n-k]$의 형태를 잘 보면, $h[k]$를 y-axis에 대해 대칭이동하고, 이걸 x-axis에 대해 n만큼 평행이동한 꼴이지요? 이게 합성곱의 기하적(?)인 의미입니다— if i'm using the right term lol
그렇다면 continuous type은 어떻겠어요?! 당연히 적분꼴이겠지~.~
\begin{equation}\label{eq13}x(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\tag{3.d}\end{equation}
시스템 식은
\begin{equation}\label{eq14}y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau\tag{3.e}\end{equation}
네 뭐 그렇습니다 ㅎㅅㅎ
Properties of LTI System
이정도 작성하니까 굉장히 중구난방 요약이 된 것 같은 느낌이 갑자기 빡 드는데.. 아휴 뭐 어때 나 읽으라고 쓴 포스트인데^^
암튼 저 convolution sum은 LTI를 나타내는 방법이니까, 주인공이 사실은 LTI system이라는 것이 명백해졌지요..
- Commutative
- Distributive
- Associative
---요기까지는 사실 linearity의 대표적인 특징들!---
- Invertibility
- Identity: "If $h(t)*h_i(t)=\delta(t)$, the system $h_i(t)$ is the inverse of the system with impulse response $h(t)$.
- Causality; $\ref{eq11}$보면 $y[n]$이 $k>n$일 때의 $x[k]$에 의존적이면 안된다는 걸 알 수 있죠
- Stability
- DT LTI is stable $\iff$ impulse response is absolutely summable;
$$\sum^{\infty}_{k=-\infty}|h[k]|<\infty$$ - Likewise for CT LTI;
$$\int^\infty_{-\infty}h(\tau)d\tau<\infty$$
- DT LTI is stable $\iff$ impulse response is absolutely summable;
그리고 HW1에는 냈으면서 정작 건너뛴 difference and differential equation...ㅋㅋ 일단 이건 예제를 풀어봐야 알 거 같네요.. 요건 조만간 HW2 풀면서 업로드해야지><
그럼 이만 총총 아니 이게 왜 3주치 수업분량...? ¯\_(ツ)_/¯
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