절반 정도는 이전 포스트 참고^^ 이건 원래 푸리에 급수 쪽에서 다루는 내용인데, 푸리에 변환에 대한 이해도 필요해서 교수님이 중간고사 이후에 수업하신 듯!
필터링은 말그대로 필터링임! 무엇을 필터링하냐면,,, 주파수 대역입니다. 고주파/저주파 통과 필터 등이 있구요.
다음은 교과서의 내용입니다.
For example, a lowpass filter is a filter that passes low frequencies —i.e., frequencies around $\omega= 0$— and attenuates or rejects higher frequencies. A highpass filter is a filter that passes high frequencies and attentuates or rejects low ones, and a bandpass filter is a filter that passes a band of frequencies and attenuates frequencies both higher and lower than those in the band that is passed. In each case, the cutoff frequencies are the frequencies defining the boundaries between frequencies that are passed and frequencies that are rejected— i.e., the frequencies in the passband and stopband.
_Alan. V. Oppenheim, Signals & Systems 2nd Edition, p.237
용어정리 가보자고
- lowpass filter: 저주파 통과 필터, 저주파 신호만 통과시키는 필터
- highpass filter: 고주파 통과 필터, 고주파 신호만 통과시키는 필터
- bandpass filter: 특정 주파수 대역만 통과시키는 필터
- cutoff frequency: 통과되는 주파수의 기준값, 즉 passband와 stopband의 경계
- passband: 통과되는 주파수 대역
- stopband: 필터링되는 주파수 대역
어휴 많다
예시를 한 번 봅시다. 사실 여기서부터 이해가 잘 안 되긴 하는디.. 대표적인 예시가 RC circuit이라네요? 위키피디아 참고~
RC circuits can be used to filter a signal by blocking certain frequencies and passing others. The two most common RC filters are the high-pass filters and low-pass filters; band-pass filters and band-stop filters usually require RLC filters, though crude ones can be made with RC filters.
그렇담 recap: current-voltage relation!
$$ I_c(t) = C\dfrac{dV_c(t)}{dt}, I_r(t) = \dfrac{V_r(t)}{R} $$
이걸로 저항과 축전기로 구성된 RC filter의 식을 세워보겠습니다. lowpass filter의 경우 출력전압을 축전기로 설정하는 거 같아요.
$$ RC\dfrac{dV_c(t)}{dt} + V_c(t) = V_s(t) $$
축전기에 흐르는 전류는 저항에 흐르는 것과 같으니까 (직렬 연결) 식을 이렇게 써준 거구요, $V_s(t)$는 입력전압임! 암튼 이걸 대체 어떻게 푸느냐.. 이건 입력-출력의 관계잖아요 그쵸? 그래서 적절한 입력 전압을 설정해서 우리가 풀 수 있는 식의 꼴로 바꿔줄 겁니다. 어떻게? $V_s(t)=e^{j\omega t}$라 하면, 이전 포스트에서 다룬 frequency response 구하는 식을 참고하면 $V_c(t) = H(j\omega)e^{j\omega t}$임을 쉽게 구할 수 있지요. 이걸 대입해주면,
$$\begin{gather}
RC\dfrac{d}{dt}\left[H(j\omega)e^{j\omega t} \right] + H(j\omega)e^{j\omega t} = e^{j\omega t}, \\
RCj\omega\left[H(j\omega)e^{j\omega t} \right] + H(j\omega)e^{j\omega t} = e^{j\omega t}, \\
\therefore H(j\omega) = \dfrac{1}{1+RCj\omega}
\end{gather}$$
¶ Magnitude and Phase
엥 근데 이게 왜 저주파 통과필터냐! 하는 의문이 드는군요 🤔 $H(j\omega)$의 magnitude와 phase가 아래와 같다고 하는데요,
? 어쩌라고
그래서 크기와 위상 정보가 갖는 의미를 한번 찾아보았는데, 매트웍스 공식 사이트에 따르면 크기는 신호의 세기를, 위상은 "모든 주파수 성분이 시간상 어떻게 정렬되는지"를 나타낸다고 하는군요..? 역시 저는 응용을 더 좋아하니 소리에 대한 예시를 설명한 단락을 찾았는데요,
신호의 위상에는 노래의 음이 시간상 언제 나타나는지에 대한 중요한 정보가 포함되어 있습니다. 오디오 신호에서 위상의 중요성을 설명하기 위해 각 주파수 성분의 크기를 사용하여 위상 정보를 완전하게 제거해 보겠습니다. 참고로, 이를 수행하면 크기 응답이 변경되지 않은 상태로 유지됩니다. ... 시간 영역으로 신호를 되돌리고 오디오를 재생합니다. 원래의 소리를 전혀 인식할 수 없습니다. 크기 응답이 동일하며, 이번에는 주파수 성분이 제거되지 않았지만, 음의 순서가 완벽하게 사라졌습니다. 이제 신호는 시간 0에 모두 정렬된 정현파의 무리로 구성되었습니다. 일반적으로, 필터링으로 인한 위상 왜곡은 인식할 수 없는 정도로까지 신호를 손상시킬 수 있습니다.
옿 그렇구낳
¶
아무튼 다시 돌아와서, 신호의 세기를 의미하는 magnitude를 보면, $\omega\rightarrow\infty$이면 크기가 0으로 수렴하기 때문에, 주파수가 너무 커지면 신호의 세기가 너무 약해지니까 non-ideal 저주파 통과 필터라고 합니다. High-pass의 경우는 이렇게 된대요.
$$ RC\dfrac{dV_r(t)}{dt} + V_r(t) =RC \dfrac{dV_s(t)}{dt} $$
알 것도 같고 모를 것도 같고.. 암튼 이걸 계산하면, 이번에는
$$ G(j\omega) = \dfrac{RCj\omega}{1+RCj\omega} $$
그래서 $\omega\rightarrow 0$이면 크기가 0으로 수렴, $\omega\rightarrow\infty$면 1로 수렴이라 non-ideal 고주파 통과필터라는군요! 흥미롭..
이렇게 필터링은 미분방정식으로 표현되는 경우가 많나봐요. 예시를 보고 결론을 내려보자면,,, frequency response의 수렴조건으로 고주파/저주파 통과필터 여부를 확인하는 모양이군요.
그럼 이만 총총~
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